ОПТИМИЗАЦИЯ ТРЕБОВАНИЙ К НАДЕЖНОСТИ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

Him и эксплуатации в течение Т г лет системы ЛА не зависит не­посредственно от надежности Рэ:

C=amlnlc-PN-

Однако входящее в выражение (6.9) число летных испытаний позволяет связать функцию С с надежностью на этапе летных ис­пытаний Рл. Так, при использовании модели (5.76) для прогнози­рования роста надежности можно получить

/>,=Я«-(Я«-Ял)е-ЭА

откуда

(6.10)

где Эл = яа/РЛСо — коэффициент, характеризующий эффективность летной отработки.

Выражение (6.10) при известных величинах Эл, РлРло мож­но заменить более простой степенной зависимостью

(6.11)

где а’ и р’ — постоянные коэффициенты, зависящие от принятых значений Эл, Рлоо, Рло-

Подставляя выражение (6.11) в (6.9), получим степенную за­висимость:

С=агщР а-«д/ЗД-е,

где а—-аа’е, р—рр’.

Заметим, что в формуле (6.12) не выявлена связь надежности Р э в условиях эксплуатации со стоимостью создания и эксплуа­тации системы ЛА. Для решения такой задачи нужно более полно учесть затраты на эксплуатацию ЛА с различной надежностью, стоимости восстановления и контроля изделий и т. п. Другими сло­вами, нужно установить такие связи, которые бы сделали целевую функцию С критичной к параметру Рэ. Если достигнуть этого не удается, то можно сменить принятый критерий или оптимизируемый параметр (например, определять требования к величине Рл, а не кРэ).

На основании формул (4.35) (4.39), принимая во внимание,

что критерий живучести Рш зависит от параметров ДЯф и tr, т. е. Лж (ДРф, tT), и вводя более простые обозначения Р (т„) = Рх и Р(Тпл) —Рэ , можно представить критерий эффективности №э си­стемы ЛА в условиях эксплуатации в виде степенной функции:

где Рб<0; Рю<0; п-—число боевых элементов; q — мощность эле­мента.

Известно, что при заданной дальности полета величина старто­вой массы ЛА определяет вес и состав полезной нагрузки, т. е. па­раметры q, п, Я, про [51, 46]. С учетом этого, а также полагая, что может быть известна не только связь С(РЛ) вида (6.12), но и более полные зависимости, учитывающие влияние параметров Рэ, Кг, Рх, К на величину С, запишем степенную функцию:

C=Aqaina’Plfao^Pd°aeMa’KartFr° ft0, (6.14)

где ct6<0; а7<0 и а10<0.

Подобные зависимости могут быть установлены между време­нем, необходимым на создание системы ЛА, и ее характеристи­ками:

Т—Dq1’nt‘Pifiroh. P&Pl}°,>Al^,Kr¥:>l° ft0, (6.15)

где у6<0 и у10< 0.

Для компактности записей введем обозначения:

. Ч=х1; п=х2 /°іпро=ла; 1Рф=х4; Рэ=х5; °=х6;

N=X7 Кг = Х8 Рх = Хд, tr = xl0. (6.16)

При этом в соответствии с выражениями (6.13) — (6.16) по­лучим:

ю ю ю

с=лп^’; T=DUx1′ (6Л7)

i=i i=i 1-і

С учетом зависимостей (6.17) задачу (6.1) оптимизации требо­ваний, предъявляемых к надежности ЛА, представим в следую­щей форме:

ю

П-*“/==т1п; (6.18)

i=i

ю

П > Wa. rplB;

1-і

ю

П^<7у£>;

1-і

ХП ^ХГ^ Х12,

где Хц, Хі2 — заданные нижний и верхний пределы изменения па­раметра Хі.

Например, для 1=3, 5, 8, 9 имеем хг-]=0 и Хц=, так как э1ти па­раметры — вероятности соответствующих событий.

9—1218

Из рассмотренной выше постановки задачи следует, что опти­мальне требуемое значение надежности изделия может быть най­дено совместно с оптимизацией остальных параметров, определяю­щих эффективность создаваемой системы ЛА.

При решении задачи (6.18)-f-(6.21) можно заменить неравен­ства J3 функциях ограничений равенствами, что позволит использо­вать обобщенный метод неопределенных множителей Лагранжа ‘ [28, б91- Кроме того, ограничение (6.20) на время создания систе­мы’, Как менее существенное, чем (6.19), иногда можно не учиты­вать. Однако основное ограничение (6.19) не может быть снято, так как в этом Случае получается тривиальное решение, при котором опти]іальньІе значения параметров, входящих в целевую функцию, с показателями степени а,->0, будут равны своим нижним преде­лам #ь а оптимальные значения параметров хе и х10 — верхним — пределам-

С учетом возможности снятия ограничения (6.20) задачу опти­мизации надежности ЛА сводят к виду:

j^^k упоминалось выше, успешное решение такой задачи воз — можн0 ПРИ условии, что целевая функция (6.22) и функция ограни­чений (6.23) чувствительны к оптимизируемым параметрам. Ана­лиз формул (4.1)-г-(4.31) и (4.35) — j — (4.39) позволяет установить ориейтиРовочные значения величин щ и Pi (табл. 6.1).

Таблица 6.1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 «1 0,5ч- -5-0,7 0,5-ь -5-0,7 0,3+ —0,5 0,10 ч — ч 0,15 0,08 ч — ч-0,20 ор О о С —(О. ОЗч^ 4-0,10) ~0 ~0 ~0 р* 0,6ч- -5-0,7 0,8ч- ч-1,0 0,8ч- -5-1.0 0,6-5- 4-0,8 1 —(1.5-5- -5-2,0) 0,8ч-1,2 1 1 0,4ч- -5-0,6

Пз табл. 6.1 видно, что принятый критерий оказывается нечув­ствительным или слабо чувствительным к ряду параметров. Сле­довательно. оптимальные значения характеристик х8, хд, xw должны определяться по другим критериям. При решении же задачи (6.22) — г-(6.24) оптимальные значения параметров и xs будут соот­ветствен3113 их верхним пределам, а параметра х10 — нижнему пре­делу. Отсюда видно, что весьма важен правильный выбор ограни-

чений (6.24), определяющих допустимые интервалы изменения оп­тимизируемых величин. В этих условиях гораздо важнее провести тщательный анализ возможных диапазонов изменения параметров системы ЛА, определяемых уровнем развития соответствующих фундаментальных и прикладных исследований, наличием конструк­торских проработок, возможностями существующей производствен­ной базы и другими трудно формализуемыми факторами, чем по­добрать тот или иной математический метод, позволяющий весьма строго решить поставленную задачу.

Практика показывает, что эмпирические зависимости типа (6.12) или (6.14), связывающие затраты средств с ожидаемыми характе­ристиками системы ЛА, более или менее точны лишь в сравнитель­но небольших областях около опорных точек, отражающих пара­метры разрабатываемых или подготавливаемых к разработке комп­лексов. Поэтому при правильно выбраннь^с ограничениях (6.24) имеет смысл линеаризовать целевую функцию (6.22) и функцию (6.23) относительно какой-либо опорной точки

А"о= …, 10),

с координатами, лежащими па заданных интервалах (6.24), т. е. Хп^.Хіо^Хі2. В этом случае можно принять, что

ю

П^=Гэ. тР/В.

і=і

С учетом сделанных допущений после линеаризации и преобра­зований получим следующую постановку задачи:

10 _ 2 a;8x,=mm; i=i (6.25) ю _ (6.26) 2РМ> 0; i= 8-Яд ЪХ} ^ &£/2» (6.27) 8*/=[(■** — хіо)і*іо ,00°/0; (6.28) _ 8^i, i,2=[(jcii,2—лг0)/л:,0] 100%.

Задача (6.25) ч- (6.27) является типичной задачей линейного программирования и может быть решена в принципе любым из из — иестных методов, машинные алгоритмы которых хорошо разрабо­таны [39, 63, 28, 59).

Анализ показывает, что при сравнительно небольших интерва­лах (6.24) допустимых изменений параметров оптимальные значе­ния, полученные при решении нелинейной задачи (6.22) ~ (6.24) н линейной задачи (6.25)-і-(6.27), практически совпадают. Однако

<1* 235

при использовании нелинейной постановки существенно возраста­ют трудности выбора подходящего математического метода и его машинной реализации.

Таким образом, правильное назначение требований, предъяв­ляемых к надежности ЛА, предопределяется обоснованным выбо­ром допустимых значений параметров, т. е. ограничений (6.24) или (6.27), а само решение задачи оптимизации лишь уточняет положе­ние искомой точки в сравнительно небольшой области.

Проиллюстрируем решение такой задачи на следующем простом примере.

Допустим, что целевая функция (6.25) и функция ограничений (6.26) зави­сят только от надежности ЛА (Хв=Рэ) и характеристики рассеивания (х6=о), т. е. что все си, pi, кроме as, Об, р5> Рб, равны нулю. Пусть известно, что при опорных зна­чениях РЭо=0,93, 0о=О,4 км обеспечивается требуемое значение критерия эффективности системы ЛА, а также установлены следую­щие интервалы изменения оптимизируе­мых параметров: 0,84^ЯЭ^0,’98; 0,32^а =g:0,48 км.

При заданных значениях коэффициен­тов: «5=0,08; «6= —0,05; Ps=l,0; Рб= —2 требуется найти оптимальные величины Рэ

и о. (Далее для оптимальных значений па­раметров, при которых целевая функция достигает минимума или максимума, вве­дем обозначения, использовавшиеся ранее для статистических оценок.)

Рис. 6.1. К решению задачи опти-
мизации требуемой надежно-
сти Л А

Для упрощения записей введем новые переменные:

JC! = Ьх5 = [(Рэ — Рэо)/Рэо]100%; *2 = 8^6 = ((° — °о)/°о]-10096 —

При этом в соответствии с условиями и формулами (6.27), (6.28) пределы изменения параметров хх и хг составят примерно (—110; 5) и (—20; 20). С уче­том выражений (6.25) — Ь (6.28) и исходных данных получим следующую задачу линейного программирования:

0,08-кх — 0 ,05jc2 = m in;

xi — 2×2>0; — 10<X!<5; — 20 < ,x2 < 20.

Так Как неизвестных всего два, то задачу можно решить даже графически. На рис. 6.1 показана область «А», в которой может находиться минимум целе­вой функции. Границы этой области образуются прямыми xi=5; xi——10; х2= =20; Х2=—20 и Xi — 2х2=0. Построив семейство прямых 0,08 Х— 0,05х2=у.

можно найти такую, которая пересекает заданную ограничениями область «А» при минимальном значении у. В условиях примера в точке а с координатами Ху=—10 и х2=—5 имеем минимум (//min——0,55). Следовательно, искомые оп­тимальные значения:

рэ = Яэо + ^Рдр/100 = 0,93— 10-0,93/100 я 0,84;

о = о0 + х2о()/100 = 0,4—5-0,4/100 г: 0,38 км.

I aS I 1 Ps I

Нетрудно заметить, что до тех пор, пока не принять — > — , оптималь-

I «6 I I Рб I

ные значения Рэ и о не изменятся. Так, если считать «6 =_— 0,20 (вместо а6=—0,05), что соответствует усилению влияния на затраты С параметра а в четыре раза, то получим оптимум уже в точке а’ с координатами^=5; x2=2,5. При этом оптимальные значения параметров составят Рэ = 0,98, а = 0,41 км.

Эту же задачу можно было бы решить и в нелинейной постановке (6.22)-Н (6.24). Для этого нужно назначить какую-либо требуемую величину критерия эффективности W’s. тр и коэффициента В. Примем ТУэ. тр =0,9 и будем полагать, что это значение обеспечивается при опорных величинах Рэо=0,93 и а0=0,4 км. Тогда

B=W3.Тр/(Рао0 )= 0,9/(0,93-0,4^)яа 0,155 км2.

В этих условиях задача принимает следующую форму:

0,08 —0,05 П1 jn;

X5Jf6 2 >0,9/0,155;

0,84 < л:5 < 0,98; 0,32 < jc6 < 0,48.

Решение задачи с точностью до 0,0005 дает оптимальные значения Рэ = =0,84; 0=0,38 км, т. е. совпадает с результатами решения задачи линейного программирования.